Приобрести устойчивый навык работы с кривыми второго, третьего порядка и кривыми Безье можно при редактировании векторных шрифтов, например, в программе FontLab. Построение векторных контуров шрифтов полностью основано на использовании кривых второго, третьего порядка и кривых Безье. В программе FontLab имеется возможность работать с кривыми второго порядка, кривыми третьего порядка и кривыми Безье.
В каждом векторном редакторе есть функция построения и редактирования кривых Безье. На кривой второго, третьего порядка и кривой Безье есть узлы - точки перегиба. Каждый узел имеет два управляющих вектора. С помощью управляющих векторов изменяется форма кривых линий второго, третьего порядка и кривых Безье.
Имеются различия в форме и параметрах управляющих векторов у кривых второго, третьего порядка и кривых Безье. При практическом знакомстве с кривыми второго, третьего порядка и кривыми Безье вы эти различия обнаружите самостоятельно.
Математические основы векторной графики.
В основе векторной графики лежат математические представления о свойствах геометрических фигур. Как мы сказали выше, простейшим объектом векторной графики является линия. Поэтому в основе векторной графики лежит прежде всего математическое представление линии (прямая, кривая второго, третьего порядка и линии Безье). Давайте рассмотрим несколько видов линий, но начнем с точки.
Точка.
Точка на плоскости задается двумя числами (х, у), определяющими ее положение относительно начала координат.
Прямая линия. (частный случай кривой второго и третьего порядка).
Из курса алгебры известно, что для задания прямой линии достаточно двух параметров. Обычно график прямой линии описывается уравнением y=kx+b. Зная параметры k и b, всегда можно нарисовать бесконечную прямую линию в известной системе координат.
Отрезок прямой. (частный случай кривой второго и третьего порядка).
Для задания отрезка прямой линии надо знать еще пару параметров, например координаты х1 и х2 начала и конца отрезка, поэтому для описания отрезка прямой линии необходимы четыре параметра.
Кривая линия второго порядка. (частный случай кривой третьего порядка).
К кривым второго порядка относятся параболы, гиперболы, эллипсы, окружности и другие линии, уравнения которых не содержат степеней выше второй. Прямые линии — это частный случай кривых второго порядка. Отличаются кривые второго порядка тем, что не имеют точек перегиба. Самая общая формула кривой второго порядка может выглядеть, например, так: х2+а1у2+а2ху+а3х+а4у+а5=0.
Как видите, пяти параметров вполне достаточно для описания бесконечной кривой линии второго порядка. Для записи отрезка кривой второго порядка необходимо на два параметра больше.
Кривая линия третьего порядка.
Отличительная особенность этих более сложных кривых линий состоит в том, что они могут иметь точку перегиба. Если вы знакомы с графиком функции у=х3 то конечно видели тот перегиб, который происходит в начале координат. Кривые линии третьего порядка хорошо соответствуют тем линиям, которые мы наблюдаем в живой природе, например линиям изгиба человеческого тела, поэтому в качестве основных объектов векторной графики используют именно такие линии (кривые третьего порядка). Все прямые и кривые второго порядка (например, окружности или эллипсы) являются частными случаями кривых третьего порядка.
В общем случае уравнение кривой линии третьего порядка можно записать так: х3+а1у3+а2х2у+а3ху2+а4х2+а5у2+а6ху+а7х+а8у+а9=0.
Видно, что для записи кривой третьего порядка достаточно девяти параметров. Для задания отрезка кривой линии третьего порядка, надо иметь на два параметра больше.
Фото 1. Кривая Безье. Управляющие векторы для редактирования кривой Безье.
(Векторный редактор CorelDraw).
Кривые Безье. (частный случай кривой третьего порядка).
Рисовать кривую третьего порядка по заданным коэффициентам ее уравнения — занятие не слишком интересное. Для упрощения этой утомительной процедуры в векторных редакторах применяют не любые кривые третьего порядка, а их особый вид, называемый кривыми Безье. Отрезки кривых Безье — это частный случай отрезков кривых третьего порядка. Они описываются не одиннадцатью параметрами, как произвольные отрезки кривых третьего порядка, а лишь восемью, и потому работать с ними удобнее.
Метод построения кривой Безье основан на использовании пары касательных, проведенных к линии в точках ее концов. На практике эти касательные выполняют роль «рычагов», с помощью которых линию изгибают так, как это необходимо. На форму линии влияет не только угол наклона касательной, но и длина ее отрезка. Управление касательной (а вместе с ней и формой линии) производят перетаскиванием маркера с помощью мыши.
Большинство векторных редакторов для изображения и хранения кривых линий используют именно кривые Безье.